1
Aplikasi Integral
Integral dapat diaplikasikan ke dalam banyak hal. Dari yang sederhana, hingga aplikasi
perhitungan yang sangat kompleks. Berikut merupakan aplikasi-aplikasi integral yang telah
dikelompokkan dalam beberapa kelompok perhitungan. Penjelasan lebih lanjut dapat dilihat
pada keterangan yang diberikan.
1. Panjang Kurva
Panjang sebuah kurva f(x) sepanjang selang dapat ditemukan menggunakan persamaan
Panjang sebuah kurva w(y) sepanjang selang dapat ditemukan menggunakan persamaan
Sedangkan bila persamaan dinyatakan dengan persamaan parameter,
maka panjang kurva =
atau
Contoh:
Hitung panjang kurva dari titik sampai titik
Jawab:
Panjang kurva adalah:2
2. Aplikasi Integral pada sistem elektronik
Besarnya tegangan pada komponen elektronik dinyatakan sebagai berikut:
Karena komponen elektronik memiliki karakteristik seperti di atas maka analisis dari beberapa
rangkaian elektronis harus diselesaikan menggunakan turunan maupun integral.
· Pada arus DC
Contoh :
Carilah persamaan tanggapan rangkaian berikut:3
· Pada arus AC Biasa
Sebuah arus sinusoidal biasa direpresentasikan sebagai berikut:
Maka besarnya tegangan pada komponen elektronik menjadi
Maka pada rangkaian berikut tanggapannya adalah:
3. Transformasi-Transformasi
Transformasi yang akan dibahas di sini merupakan transformasi yang ada kaitannya dengan
integral, yaitu transformasi Fourier dan Transformasi Laplace. Banyak transformasi dilakukan
dengan prinsip integrasi terhadap bagian-bagian gelombang yang ada.
Mengapa perlu transformasi ?
· Setiap orang pada suatu saat pernah menggunakan suatu teknik analisis dengan
transformasi untuk menyederhanakan penyelesaian suatu masalah [Brigham,1974]
· Transformasi dilakukan agar domain penelitian dapat diubah ke dalam domain
penelitian yang lebih gampang sehingga dapat diselesaikan secara matematis dengan
mudah. Contohnya transformasi Fourier dan Laplace mengubah sinyal dalam kawasan
waktu ke kawasan frekuensi.
· Transformasi juga diperlukan bila kita ingin mengetahui suatu informasi tertentu yang
tidak tersedia sebelumnya4
Contoh :
-jika ingin mengetahui informasi frekuensi kita memerlukan transformasi Fourier
a. Transformasi Fourier
Pada tahun 1822, Joseph Fourier, ahli matematika dari Prancis menemukan bahwa: setiap
fungsi periodik (sinyal) dapat dibentuk dari penjumlahan gelombang-gelombang
sinus/cosinus.
Penjelasan:
· 1 gelombang sinus dgn frek 50Hz dikatakan memiliki 1 frekuensi atau 1 spektrum
frekuensi sinyal sinus dengan formula : 5sinus(50Hz) + 4sinus(20Hz) + 2 sinus(10Hz)
dikatakan memiliki 3 spektrum frekuensi. Penjumlahan sinyal-sinyal tersebut
nantinya akan membentuk sebuah sinyal baru.
· sinyal kotak adalah penjumlahan banyak sinyal sinus yang memiliki frekuensi
berbeda, dan banyaknya adalah infinity: tak terbatas.
Contoh : Sinyal kotak merupakan penjumlahan dari fungsi-fungsi sinus berikut f(x) = sin(x) +
sin(3x)/3 + sin(5x)/5 + sin(7x)/7 + sin(9x)/9 …, hasilnya sebagai berikut:
Kita dapat menyatakan semua sinyal periodik dalam penjumlahan fungsi-fungsi sinus-
cosinus, dengan cara:
Rumus FT kontinu 1 dimensi
X(ʘ) : Transformasi Fourier atas x(t)
x(t) : Invers transformasi Fourier
Rumus sinyal kontinyu berhubungan erat dengan aplikasi integral
‡ Rumus FT diskret 1 dimensi
) ( ) (
) ( ) (
) ( ) ( 2
1
w
w
w w
w
w
p
X t x
dt e t x X
d e X t x
t j
t j
¾® ¬
=
=
Á
¥ +
¥ -
-
+¥
¥ -
ò
ò5
å
å
-
=
-
=
=
- =
1
0
1
0
] / 2 exp[ ) (
1
) (
] / 2 exp[ ) (
1
) (
N
x
N
x
N ux j u F
N
x f
N ux j x f
N
u F
p
p
Contoh:
¸ ) ( ) ( t u e t x
at -
= ; a>0 ) ( ) ( w X t x ¾® ¬Á
ò
+¥
¥ -
-
= dt e t u X t jw
w ) ( ) (
ò
+¥
- -
=
0
dt e e
t j at w
=
=
¸ = ) (t x ) ( ) ( w X t x ¾® ¬Á
ò
+¥
¥ -
-
= dt e t X t jw
d w ) ( ) (
= 1
¸ = ) (t x ) ( ) ( w X t x ¾® ¬Á
ò
+¥
¥ -
-
= dt e t x X t jw
w ) ( ) (6
= ò
+
-
-
T
T
t j
dt e
w
=
b. Transformasi Laplace
Bila transformasi Fourier direpresentasikan dalam kawasan frekuensi berlambangkan ) (w ,
maka representasi gelombang/sinyal pada transformasi Laplace diubah ke dalam kawasan
frekuensi X(s), di mana w s j s + = . Transformasi Laplace merupakan jabaran dari
transformasi Fourier. Penjabaran ini dilakukan agar hitungan yang dihasilkan lebih
sederhana dan lebih mudah. Tranformasi Laplace merupakan transformasi yang
mengandung pasangan Transformasi Fourier kompleks yaitu X(s). Juga biasa disebut
transformasi Laplace bilateral atau transformasi Laplace dua sisi (two-sided).
Contoh soal:
w s
p
s
s
j s
ds e s X
j
t x
dt e t x s X
j
j
st
st
+ =
=
=
ò
ò
¥ +
¥ -
¥
-
). (
2
1
) (
). ( ) (
07
4. Aplikasi Integral untuk menghitung Volume, Luas Permukaan, dan Pusat Massa
· Volume
Misal diberikan permukaan z=f(x,y) dan R merupakan daerah terletak pada bidang XOY atau
bisa merupakan proyeksi dari permukaan z=f(x,y), maka volume benda ruang yang dibatasi di
atas oleh permukaan z=f(x,y) dan di bawah dibatasi oleh R dituliskan :
Contoh:
Hitung volume bangun ruang yang terletak di oktan pertama yang dibatasi oleh bidang
2x+3y+Z-6 = 0.
Jawab:
Dilihat dari gambar setelah bidang diproyeksikan terhadap bidang XOY diperoleh:
Maka volume bangun ruang dinyatakan sebagai berikut:8
· Luas Permukaan
Misal diberikan sebuah persamaan z=f(x,y) maka untuk mendapatkan luas sepotong permukaan
(D) yang proyeksinya pada bidang XOY adalah R dilakukan sebagai berikut. Daerah R dapat
berupa segi empat atau daerah sembarang.
Bagi daerah R menjadi n buah persegipanjang misalnya R1,R2,…,Rn yang masing-masing
mempunyai panjang dan lebar . Bila merupakan proyeksi dari luasan subpartisi
dari D, maka luas dari D didekati oleh jumlah luas subpartisinya yaitu:
Selanjutnya berdasarkan teorema bahwa bila R berukuran dan merupakan proyeksi pada
bidang XOY dari sebuah potongan permukaan S dengan persamaan maka luas
dari potongan permukaan S dinyatakan dengan
Misalkan merupakan sembarang titik pada , maka ( titik pada dengan
. Persamaan bidang singgung dari permukaan di titik (
dinyatakan dengan:
Bila ukuran dari cukup kecil maka akan merupakan bidang yang mendekati bidang
singgung dari di titik ( , sehingga berdasarkan teorema di atas luas dari
dinyatakan sebagai berikut:
Dengan dan
Jadi luasan dari D akan didekati oleh luasan:
No comments:
Post a Comment