Contoh Penerapan Persamaan Integral pada Penelitian

1
Aplikasi Integral
Integral dapat diaplikasikan ke dalam banyak hal. Dari yang sederhana, hingga aplikasi
perhitungan yang sangat kompleks. Berikut merupakan aplikasi-aplikasi integral yang telah
dikelompokkan dalam beberapa kelompok perhitungan. Penjelasan lebih lanjut dapat dilihat
pada keterangan yang diberikan.
1. Panjang Kurva
Panjang sebuah kurva f(x) sepanjang selang dapat ditemukan menggunakan persamaan
Panjang sebuah kurva w(y) sepanjang selang  dapat ditemukan menggunakan persamaan
Sedangkan bila persamaan dinyatakan dengan persamaan parameter,
 maka panjang kurva =
 atau
Contoh:
Hitung panjang kurva  dari titik  sampai titik
Jawab:
Panjang kurva adalah:2
2. Aplikasi Integral pada sistem elektronik
Besarnya tegangan pada komponen elektronik dinyatakan sebagai berikut:
Karena komponen elektronik memiliki karakteristik seperti di atas maka analisis dari beberapa
rangkaian elektronis harus diselesaikan menggunakan turunan maupun integral.
· Pada arus DC
Contoh :
Carilah persamaan tanggapan rangkaian berikut:3
· Pada arus AC Biasa
Sebuah arus sinusoidal biasa direpresentasikan sebagai berikut:
Maka besarnya tegangan pada komponen elektronik menjadi
Maka pada rangkaian berikut tanggapannya adalah:
3. Transformasi-Transformasi
Transformasi yang akan dibahas di sini merupakan transformasi yang ada kaitannya dengan
integral, yaitu transformasi Fourier dan Transformasi Laplace. Banyak transformasi dilakukan
dengan prinsip integrasi terhadap bagian-bagian gelombang yang ada.
Mengapa perlu transformasi ?
· Setiap orang pada suatu saat pernah menggunakan suatu teknik analisis dengan
transformasi untuk menyederhanakan penyelesaian suatu masalah [Brigham,1974]
· Transformasi dilakukan agar domain penelitian dapat diubah ke dalam domain
penelitian yang lebih gampang sehingga dapat diselesaikan secara matematis dengan
mudah. Contohnya transformasi Fourier dan Laplace mengubah sinyal dalam kawasan
waktu ke kawasan frekuensi.
· Transformasi juga diperlukan bila kita ingin mengetahui suatu informasi tertentu yang
tidak tersedia sebelumnya4
Contoh :
-jika ingin mengetahui informasi frekuensi kita memerlukan transformasi Fourier
a. Transformasi Fourier
Pada tahun 1822, Joseph Fourier, ahli matematika dari Prancis menemukan bahwa: setiap
fungsi periodik (sinyal) dapat dibentuk dari penjumlahan gelombang-gelombang
sinus/cosinus.
Penjelasan:
· 1 gelombang sinus dgn frek 50Hz dikatakan memiliki 1 frekuensi atau 1 spektrum
frekuensi sinyal sinus dengan formula : 5sinus(50Hz) + 4sinus(20Hz) + 2 sinus(10Hz)
dikatakan memiliki 3 spektrum frekuensi. Penjumlahan sinyal-sinyal tersebut
nantinya akan membentuk sebuah sinyal baru.
· sinyal kotak adalah penjumlahan banyak sinyal sinus yang memiliki frekuensi
berbeda, dan banyaknya adalah infinity: tak terbatas.
Contoh : Sinyal kotak merupakan penjumlahan dari fungsi-fungsi sinus berikut f(x) = sin(x) +
sin(3x)/3 + sin(5x)/5 + sin(7x)/7 + sin(9x)/9 …, hasilnya sebagai berikut:
Kita dapat menyatakan semua sinyal periodik dalam penjumlahan fungsi-fungsi sinus-
cosinus, dengan cara:
Rumus FT kontinu 1 dimensi
X(ʘ)  : Transformasi Fourier atas x(t)
x(t)  : Invers transformasi Fourier
Rumus sinyal kontinyu berhubungan erat dengan aplikasi integral
‡ Rumus FT diskret 1 dimensi
) ( ) (
) ( ) (
) ( ) ( 2
1
w
w
w w
w
w
p
X t x
dt e t x X
d e X t x
t j
t j
¾® ¬
=
=
Á
¥ +
¥ -
-
+¥
¥ -
ò
ò5
å
å
-
=
-
=
=
- =
1
0
1
0
] / 2 exp[ ) (
1
) (
] / 2 exp[ ) (
1
) (
N
x
N
x
N ux j u F
N
x f
N ux j x f
N
u F
p
p
Contoh:
¸ ) ( ) ( t u e t x
at -
= ; a>0 ) ( ) ( w X t x ¾® ¬Á
ò
+¥
¥ -
-
= dt e t u X t jw
w ) ( ) (
ò
+¥
- -
=
0
dt e e
t j at w
=
=
¸ = ) (t x ) ( ) ( w X t x ¾® ¬Á
ò
+¥
¥ -
-
= dt e t X t jw
d w ) ( ) (
 = 1
¸ = ) (t x ) ( ) ( w X t x ¾® ¬Á
ò
+¥
¥ -
-
= dt e t x X t jw
w ) ( ) (6
 = ò
+
-
-
T
T
t j
dt e
w
 =
b. Transformasi Laplace
Bila transformasi Fourier direpresentasikan dalam kawasan frekuensi berlambangkan ) (w ,
maka representasi gelombang/sinyal pada transformasi Laplace diubah ke dalam kawasan
frekuensi X(s), di mana w s j s + = . Transformasi Laplace merupakan jabaran dari
transformasi Fourier. Penjabaran ini dilakukan agar hitungan yang dihasilkan lebih
sederhana dan lebih mudah. Tranformasi Laplace merupakan transformasi yang
mengandung pasangan Transformasi Fourier kompleks yaitu X(s). Juga biasa disebut
transformasi Laplace bilateral atau transformasi Laplace dua sisi (two-sided).
Contoh soal:
w s
p
s
s
j s
ds e s X
j
t x
dt e t x s X
j
j
st
st
+ =
=
=
ò
ò
¥ +
¥ -
¥
-
). (
2
1
) (
). ( ) (
07
4. Aplikasi Integral untuk menghitung Volume, Luas Permukaan, dan Pusat Massa
· Volume
Misal diberikan permukaan z=f(x,y) dan R merupakan daerah terletak pada bidang XOY atau
bisa merupakan proyeksi dari permukaan z=f(x,y), maka volume benda ruang yang dibatasi di
atas oleh permukaan z=f(x,y) dan di bawah dibatasi oleh R dituliskan :
Contoh:
Hitung volume bangun ruang yang terletak di oktan pertama yang dibatasi oleh bidang
2x+3y+Z-6 = 0.
Jawab:
Dilihat dari gambar setelah bidang diproyeksikan terhadap bidang XOY diperoleh:
Maka volume bangun ruang dinyatakan sebagai berikut:8
· Luas Permukaan
Misal diberikan sebuah persamaan z=f(x,y) maka untuk mendapatkan luas sepotong permukaan
(D) yang proyeksinya pada bidang XOY adalah R dilakukan sebagai berikut. Daerah R dapat
berupa segi empat atau daerah sembarang.
Bagi daerah R menjadi n buah persegipanjang misalnya R1,R2,…,Rn yang masing-masing
mempunyai panjang  dan lebar . Bila  merupakan proyeksi dari luasan subpartisi
dari D, maka luas dari D didekati oleh jumlah luas subpartisinya yaitu:
Selanjutnya berdasarkan teorema bahwa bila R berukuran  dan  merupakan proyeksi pada
bidang XOY dari sebuah potongan permukaan S dengan persamaan  maka luas
dari potongan permukaan S dinyatakan dengan
Misalkan  merupakan sembarang titik pada , maka (  titik pada  dengan
. Persamaan bidang singgung dari permukaan  di titik (
dinyatakan dengan:
Bila ukuran dari  cukup kecil maka  akan merupakan bidang yang mendekati bidang
singgung dari  di titik ( , sehingga berdasarkan teorema di atas luas dari
dinyatakan sebagai berikut:
Dengan  dan
Jadi luasan dari D akan didekati oleh luasan:

Aplikasi persamaan diferensial

Aplikasi persamaan diferensial

Dalam teori persamaan diferensial, masalah utama yang dihadapi adalah mengetahui adanya penyelesaian persamaan diferensial (adanya suatu fungsi terdiferensialkan dan memenuhi persamaan diferensial). Oleh karena itu, diperlu­kan teorema yang menjamin adanya suatu penyelesaian (Siswanto, 1997).

Persamaan diferensial eksak yang merupakan bagian dari persamaan diferensial memiliki penyelesaian sebagai berikut:

1. F(x, y) = + = c

Pilih sebarang titik (x_0, y₀) secara bijaksana pada daerah dimana fungsi-fungsi M, N, turunan-turunan parsial M_y dan N_y kontinu. Titik (x_0, y₀) diperoleh secara bijaksana, tetapi hal tersebut tidaklah mudah (Finizio dan Ladas, 1988).

2. Pengelompokan

Menyelesaikan persamaan diferensial eksak dengan mengelompokkan kembali suku-sukunya, harus diketahui bahwa masing-masing kelompok adalah diferensial total dari suatu fungsi (Ayres, 1981).

3. F(x, y) = + c(y)

c(y) = (Ross, 1984)

Dari ketiga cara penyelesaian persamaan diferensial eksak, cara ketiga merupakan cara yang sistematik (Finizio dan Ladas, 1988). Ditambahkan Ross (1984), cara ketiga merupakan cara yang standar dalam menyelesaikan persamaan diferensial eksak.

Penyelesaian persamaan diferensial eksak dengan menggunakan rumus standar F(x,y)=+ c(y) atau F(x,y) = + c(x). Jika dikaji dari langkah-langkah pengerjaan­nya, maka peneliti tertarik agar rumus penyelesaian persamaan diferensial eksak disederhana­kan sehingga langkah-langkah pe­nyelesai­an soal-soal persamaan diferensial eksak lebih sederhana.

Eksistensi suatu rumus untuk menyelesaikan persamaan diferensial eksak merupakan hal yang esensial untuk dibuktikan dan dijelaskan. Bagi yang awam tentang matematika, persoalan ini bukan merupakan pemikiran bagi mereka, artinya mereka hanya menggunakan hasil penyederhanaan tersebut tanpa pernah muncul pertanyaan dalam pikirannya mengapa penyelesaian itu caranya berbeda. Sementara bagi orang matematika hal tersebut harus dapat dibuktikan dan dijelaskan.

Berdasarkan uraian-uraian yang telah dipaparkan, peneliti akan mengadakan penelitian dengan judul: Penyederhanaan penyelesaian persamaan diferensial eksak.

Batasan Masalah

Pada penelitian ini pembahasan diferensial eksak dibatasi yaitu:

1. Persamaan diferensial tingkat satu dan derajat satu untuk dua variabel dengan bentuk umum persamaan diferensial M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0
2. = M(x, y), = N(x, y) dan =
3. Rumus penyelesaiannya adalah F(x, y)=+ c(y) atau

F(x, y) = + c(x)

1. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang dan batasan masalah, peneliti merumuskan masalah sebagai berikut:

Bagaimana cara menyederhanakan rumus F(x,y) = + c(y) dan F(x,y) = + c(x), sehingga c(y) = + c dan c(x) = + c.

2. Tujuan Penelitian

Pada prinsipnya penelitian ini berusaha untuk menjawab masalah-masalah yang dipaparkan pada latar belakang dan rumusan masalah yaitu untuk menyeder­hanakan penyelesaian persamaan diferensial eksak.

3. Manfaat Hasil Penelitian

Hasil penelitian ini diharapkan dapat bermanfaat sebagai berikut:

1. Dari peneliti, manfaat yang dapat diambil adalah untuk mengembangkan pengetahuan yang ada pada peneliti.
2. Dalam kaitannya dengan pengembangan pendidikan tinggi di Indonesia, penelitian ini diharapkan dapat memberikan tinjauan baru dalam teori persamaan diferensial eksak.
3. Informasi yang diberikan dalam penelitian ini akan membuka peluang di­adakan penelitian lebih lanjut dengan melibatkan bentuk-bentuk persamaan diferensial yang lain.

PERSAMAAN DIFERENSIAL

Persamaan diferensial pada matematika diskrit khususnya adalah Persamaan suatu fungsi matematika yang memiliki satu variabel atau lebih, dimana fungsi tersebut saling berhubungan antara fungsi itu sendiri dan turunanya. Selain dalam matematika diskrit, Persamaan diferensial ini juga digunakan dalam ilmu hitung lainya baik dari ilmu fisika, ekonomi dan ilmu lainya 

Persamaan diferensial adalah persamaan matematika yang memepelajari fungsi yang tidak diketahui nilai dari satu atau beberapa variabel yang saling berhubungan, nilai-nilai fungsi itu sendiri dan turunannya dari berbagai operasi matematika. Persamaan diferensial memainkan peran penting dalam aplikasi matematika pada bidang teknik, fisika, ekonomi, dan disiplin lainnya.Persamaan diferensial kerap muncul dalam banyak bidang ilmu pengetahuan dan teknologi, khususnya setiap kali terdapat hubungan deterministik yang melibatkan beberapa elemen yang terus menerus bervariasi (dapat dibuat model matematika dengan menggunakan fungsi) dan tingkat perubahan elemen-elemen tersebut dalam ruang dan / atau waktu (dinyatakan sebagai turunan) . 

        Hal ini kerap diilustrasikan dalam mekanika klasik, di mana gerakan digambarkan oleh posisi dan kecepatan yang dipengaruhi oleh waktu. Hukum Newton memungkinkan seseorang (mengingat posisi, kecepatan, percepatan dan berbagai kekuatan bertindak pada tubuh) untuk menyatakan variabel-variabel dinamis sebagai persamaan diferensial untuk posisi yang tidak diketahui tubuh sebagai fungsi waktu. Dalam beberapa kasus, persamaan diferensial (disebut persamaan gerak) dapat dipecahkan Contoh aplikasi matematika menggunakan persamaan diferensial adalah penentuan kecepatan bola jatuh melalui udara, jika variabel yang digunakan hanya gravitasi dan hambatan udara. Percepatan bola ke arah tanah dihiung dari percepatan gravitasi dikurangi perlambatan karena hambatan udara. Diasumsikan gravitasi dianggap konstan, dan hambatan udara dapat dimodelkan sebagai berbanding lurus dengan kecepatan bola. Hal ini mengindikasikan percepatan bola, yang merupakan turunan dari fungsi kecepatannya, yang tergantung pada kecepatan. Mencari kecepatan sebagai fungsi atas waktu membutuhkan pemecahan sebuah persamaan diferensial.

         Persamaan diferensial secara matematis dipelajari dari perspektif yang beranekaragam, sebagian besar mereka peduli dengan solusi-himpunan fungsi yang memenuhi persamaan (tujuannya hanya berupa perkembangan ilmu). Hanya persamaan diferensial sederhana umumnya mendapatkan hasi formula sebuah formula eksplisit. Namun, beberapa sifat-sifat dari solusi dari persamaan diferensial yang diberikan dapat ditentukan tanpa menemukan solusi yang tepat dari pemecahan persamaan diferensial tersebut. Jika solusi analitik tidak dapat ditemukan, solusi dapat diestimasi secara numerik menggunakan komputer. Teori sistem dinamik menekankan pada analisis kualitatif sistem dijelaskan oleh persamaan diferensial, sementara metode numerik yang telah dikembangkan untuk menentukan solusi dengan tingkat galat tertentu.

        Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui adalah fungsi dari banyak variabel bebas, dan persamaan tersebut juga melibatkan turunan parsial. Orde persamaan didefinisikan seperti pada persamaan diferensial biasa, namun klasifikasi lebih jauh ke dalam persamaan eliptik, hiperbolik, dan parabolik, terutama untuk persamaan diferensial linear orde dua, sangatlah penting. Baik persamaan diferensial biasa maupun parsial dapat digolongkan sebagai linier atau nonlinier.
          Klasifikasi lain adalah tergantung pada banyaknya fungsi-fungsi yang tidak diketahui.Jika hanya terdapat fungsi tunggal yang akan ditentukan maka satu persamaan sudah cukup. Akan tetapi jika terdapat dua atau lebih fungsi yang tidak diketahui maka sebuah sistem dari persamaan diperlukan. Untuk contohnya, persamaan Lotka-Volterra atau predator-pray adalah contoh sistem persamaan yang sangat penting yang merupakan model dalam ekologi. 
Persamaan tersebut mempunyai bentuk :
dx/dt = ax - axy
dy/dt = -cy+ °xy


Persamaan diferensial sendiri dapat dibagi menurut : 
1. Menurut jenis atau tipe : yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. 

2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi turunan fungsi yang ada dalam persamaan. d3y/dx3 adalah orde tiga d2y/dx2adalah orde dua dy/dx adalah orde satu.

3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi. Sebagai contoh: ( d3y/dx3)2 + ( d2y / dx2)5 + y/x2+1 =ex adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua. 

Penerapan persamaan diferensial pada kehidupan sehari-hari dan Matematika diskrit
          Dalam penerapanya Persamaan Diferensial ini dalam matematika adalah pencarian nilai fungsi turunan untuk memudahkan perhitungan, sedangkan untuk penerapan lain ilmu yang dipengaruhi oleh Persamaan diferensial ini adalah Ilmu Fisika misal dalam hukum newton, Percepatan dan Kecepatan, Perhitungan Radio Nuklir dan masih banyak lagi.http://repository.usu.ac.id/bitstream/123456789/28377/5/Chapter%20I.pdf